Differential EquationsDifferential EquationsДифференциальные уравнения0374-06413034-5030The Russian Academy of Sciences69898110.7868/S3034503025120018ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONSОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯResearch ArticleGREEN’S FUNCTION TO A STURM TYPE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A FRACTIONAL ORDER DIFFERENTIAL EQUATION WITH DELAYФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ШТУРМА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМMazhgikhovaM. GМажгиховаМ. Гmazhgihova.madina@yandex.ruInstitute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Center of RASИнститут прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН151220256112VOL 61, NO12 (2025)ТОМ 61, №12 (2025)1587160221122025Copyright ©; 2025, Russian Academy of SciencesCopyright ©; 2025, Российская академия наук2025Russian Academy of SciencesРоссийская академия наукhttps://ruspoj.com/0374-0641/article/view/698981

In this paper, a boundary value problem with generalized boundary conditions of the Sturm type is studied for a linear ordinary delay differential equation with the Dzhrbashyan–Nersesyan derivative of arbitrary order. The solution to the problem is written out in the terminology of the Green function. The existence and uniqueness theorem of the solution to the problem is formulated and proved.

Для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом и с производной Джрбашина–Нересесяна произвольного порядка изучена краевая задача с обобщёнными краевыми условиями типа Штурма. Решение задачи выписано в терминах функции Грина. Доказана теорема существования и единственности решения задачи.

fractional order delay differential equationdifferential equation of arbitrary orderboundary value problemSturm problemDzhrbashyan–Nersesyan derivativeдифференциальное уравнение дробного порядка с запаздывающим аргументомдифференциальное уравнение произвольного порядкакраевая задачазадача Штурмапроизводная Джрбашина–НересесянаThis work was carried out with support from the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (project no. FEGS-2023-0003) and within the framework of state assignment no. 125031904191-2.Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект FEGS-2023-0003) и в рамках государственного задания № 125031904191-2.Джрбашян, М.М. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка / М.М. Джрбашян, А.Б. Нерсесян // Изв. АН АрмССР. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 3–29.Dzherbashian, M.M. and Nersesian, A.B., Fractional derivatives and Cauchy problem for differential equations of fractional order, Fract. Calc. Appl. Anal., 2020, vol. 23, no. 6, pp. 1810–1836.Barrett, J.H. Differential equations of non-integer order / J.H. Barrett // Canadian J. Math. — 1954. — V. 6, № 4. — P. 529–541.Pitcher, E. Existence theorems for solutions of differential equations of non-integral order / E. Pitcher, W.E. Sewell // Mathematics. Bull. American Math. Soc. — 1938. — V. 44. — P. 100–107.Псху, А.В. Задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения нецелого порядка / А.В. Псху // Сб. мат. — 2011. — Т. 202, № 4. — С. 571–582.Pskhu, A.V., Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order, Sb. Math., 2011, vol. 202, no. 4, pp. 529–541.Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. — М. : Наука, 1969. — 528 с.Naimark, M., Linear Differential Operators. Part I. Elementary Theory of Linear Differential Operators, New York: Frederick Ungar Publishing, 1967.Джрбашян, М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма–Лиувилля / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. — 1970. — Т. 5, № 2. — С. 71–96.Dzhrbashyan, M.M., Boundary value problem for a fractional order differential operator of Sturm–Liouville type, Izv. AN Armenian SSR, Ser. Math., 1970, vol. 5, no. 2, pp. 71–96.Mazhgikhova, M.G. Generalized Sturm problem for a linear fractional differential equation / M.G. Mazhgikhova // Lobachevskii J. Math. — 2023. — V. 44, № 2. — P. 629–633.Мажгихова, М.Г. Обобщенная краевая задача типа Штурма для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / М.Г. Мажгихова // Вестн. Академии наук Чеченской Республики. — 2024. — Т. 64, № 1. — С. 5–10.Mazhgikhova, M.G., Generalized Sturm type boundary-value problem for a linear ordinary differential equation of fractional order, Bulletin of the Academy of Sciences of Chechen Republic, 2024, vol. 64, no. 1, pp. 5–10.Нахушев, А.М. Задача Штурма–Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах / A.М. Нахушев // Докл. АН СССР. — 1977. — Т. 234, № 2. — С. 308–311.Nakhushev, A.M., The Sturm–Liouville problem for an ordinary differential equation of the second order with fractional derivatives in the lower terms, Reports of the USSR Acad. of Sci., 1977, vol. 234, no. 2, pp. 308–311.Эфендиев, Б.И. Задача с условиями типа Штурма для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с оператором распределённого дифференцирования / Б.И. Эфендиев // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 12. — С. 1596–1605.Efendiev, B.I., Problem with Sturm type conditions for a second-order ordinary differential equation with a distributed differentiation operator, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 12, pp. 1579–1589.Garrappa, R. On initial conditions for fractional delay differential equations / R. Garrappa, E. Kaslik // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2020. — V. 90, № 2. — Art. 105359.Agarwal, R. Explicit solutions of initial value problems for linear scalar Riemann–Liouville fractional differential equations with a constant delay / R. Agarwal, S. Hristova, D. O’Regan // Mathematics. — 2020. — V. 8, № 1. — Art. 32.Zhang, X. Some results of linear fractional order time-delay system / X. Zhang // Appl. Math. Comp. — 2008. — V. 197, № 1. — P. 407–411.Мажгихова, М.Г. Задача Коши для уравнения с дробной производной Джрбашяна–Нерсесяна с запаздывающим аргументом / М.Г. Мажгихова // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. — 2023. — Т. 42, № 1. — С. 98–107.Mazhgikhova, M.G., The Cauchy problem for the delay differential equation with Dzhrbashyan–Nersesyan fractional derivative, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2023, vol. 42, no. 1, pp. 98–107.Mazhgikhova, M.G. Dirichlet–Neumann boundary value problem for a fractional order differential equation with delay / M.G. Mazhgikhova // J. Math. Sci. — 2024.Нахушев, А.М. Дробное исчисление и его применение / А.М. Нахушев. — М. : Физматлит, 2003. — 272 с.Nakhushev, A.M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye (Fractional Calculus and its Applications), Moscow: Fizmatlit, 2003.Псху, А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка / А.В. Псху // Изв. РАН. Сер. матем. — 2009. — Т. 73, № 2. — С. 141–182.Pskhu, A.V., The fundamental solution of a diffusion-wave equation of fractional order, News of the Russ. Academy of Sci., 2009, vol. 73, no. 2, pp. 141–182.