Differential EquationsDifferential EquationsДифференциальные уравнения0374-06413034-5030The Russian Academy of Sciences69898310.7868/S3034503025120037PARTIAL DERIVATIVE EQUATIONSУРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИResearch ArticleON MULTIDIMENSIONAL EXACT SOLUTIONS OF HYPERBOLIC EQUATION WITH MONGE–AMP`ERE OPERATORО МНОГОМЕРНЫХ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ C ОПЕРАТОРОМ МОНЖА–АМПЕРАKosovA. AКосовА. Аkosov_idstu@mail.ruSemenovE. IСеменовЭ. Иedwseiz@gmail.comMatrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of RASИнститут динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова Сибирского отделения РАН151220256112VOL 61, NO12 (2025)ТОМ 61, №12 (2025)1620163221122025Copyright ©; 2025, Russian Academy of SciencesCopyright ©; 2025, Российская академия наук2025Russian Academy of SciencesРоссийская академия наукhttps://ruspoj.com/0374-0641/article/view/698983

A reduction method using additive, multiplicative, and functional separation of variables is applied to a hyperbolic equation with the Monge–Ampère operator. Multidimensional exact solutions are obtained, explicitly expressed in terms of elementary and special functions and/or solutions of ordinary differential equations. Examples of exact solutions anisotropic with respect to spatial variables are given.

К гиперболическому уравнению с оператором Монжа–Ампера применён метод редукции с использованием аддитивного, мультипликативного и функционального разделений переменных. Получены многомерные точные решения, выражаемые явным образом через элементарные и специальные функции и/или через решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены примеры анизотропных по пространственным переменным точных решений.

hyperbolic equationMonge–Ampère operatormultidimensional exact solutionгиперболическое уравнениеоператор Монжа–Амперамногомерное точное решениеThis work was carried out with financial support from the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (projects no. 121041300058-1 and no. 121032400051-9).Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проекты 121041300058-1 и 121032400051-9).Полянин, А.Д. Точные решения и редукции нестационарных уравнений математической физики типа Монжа–Ампера / А.Д. Полянин // Вестн. НИЯУ МИФИ. — 2023. — Т. 12, № 5. — С. 276–288.Polyanin, A.D., Exact solutions and reductions of nonstationary equations of mathematical physics of the Monge–Ampere type, Vestnik Nacional’nogo issledovatel’skogo yadernogo universiteta MIFI, 2023, vol. 12, no. 5, pp. 276–288.Аксенов, А.В. Групповой анализ, редукции и точные решения уравнения Монжа–Ампера магнитной гидродинамики / А.В. Аксенов, А.Д. Полянин // Дифференц. уравнения. — 2024. — Т. 60, № 6. — С. 750–763.Aksenov, A.V. and Polyanin, A.D., Group analysis, reductions, and exact solutions of the Monge–Amp`ere equation in magnetic hydrodynamics, Differ. Equat., 2024, vol. 60, no. 6, pp. 716–728.Polyanin, A.D. Unsteady magnetohydrodynamics PDE of Monge–Amp`ere type: symmetries, closedform solutions, and reductions / A.D. Polyanin, A.V. Aksenov // Mathematics. — 2024. — V. 12, № 13. — Art. 2127.Aksenov, A.V. Symmetries, reductions and exact solutions of nonstationary Monge–Amp`ere type equations / A.V. Aksenov, A.D. Polyanin // Mathematics. — 2025. — V. 13, № 3. — Art. 525.Смирнов, В.В. “Фономы” в двумерных вихревых решетках / В.В. Смирнов, К.В. Чукбар // Журн. эксп. и теор. физики. — 2001. — Т. 120, № 1. — С. 145–155.Smirnov, V.V. and Chukbar, K.V., “Phonons” in two-dimensional vortex lattices, J. Exper. Theor. Phys., 2001, vol. 93, no. 1, pp. 126–135.Zaburdaev, V.Yu. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices / V.Yu. Zaburdaev, V.V. Smirnov, K.V. Chukbar // Plasma Physics Reports. — 2014. — V. 30, № 3. — P. 214–217.Рахмелевич, И.В. Многомерное неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа–Ампера / И.В. Рахмелевич // Владикавказ. мат. журн. — 2023. — Т. 25, № 1. — С. 64–80.Rakhmelevich, I.V., Multidimensional non-autonomous evolution equation of Monge–Amp`ere type, Vladikavkaz. Matematicheskiy Zhurnal, 2023, vol. 25, no. 1, pp. 64–80.Galaktionov, V.A. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics / V.A. Galaktionov, S.R. Svirshchevskii. — Boca Raton : CRC Press, 2007. — 498 p.Polyanin, A.D. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs / A.D. Polyanin, A.I. Zhurov. — New York : Chapman and Hall/CRC, 2021. — 401 p.Косов, А.А. О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции– диффузии / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 108–122.Kosov, A.A. and Semenov, E.I., On exact multidimensional solutions of a nonlinear system of reaction–diffusion equations, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 1, pp. 106–120.Косов, А.А. О точных решениях многомерной системы эллиптических уравнений со степенными нелинейностями / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 12. — С. 1619–1640.Kosov, A.A. and Semenov, E.I., On exact solutions of a multidimensional system of elliptic equations with power-law nonlinearities, Differ. Equat., 2023, vol. 54, no. 1, pp. 1627–1649.Косов, А.А. О многомерных решениях обобщённого уравнения Монжа–Ампера / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2024. — Т. 60, № 10. — С. 1334–1349.Kosov, A.A. and Semenov, E.I., On exact solutions to multidimensional generalized Monge–Amp`ere equation, Differ. Equat., 2024, vol. 60, no. 10, pp. 1404–1418.Полянин, А.Д. Уравнения и задачи математической физики / А.Д. Полянин. — 2-е изд. — Ч. 2. — М. : Юрайт, 2023. — 333 c.Polyanin, A.D., Uravneniya i zadachi matematicheskoy fiziki (Equations and Problems of Mathematical Physics), Part 2, Moscow: Urait, 2023.Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон ; пер. с англ. Х.Д. Икрамова, А.В. Князева, Е.Е. Тартышникова ; под ред. Х.Д. Икрамова. — М. : Мир, 1989. — 655 c.Horn, R.A. and Johnson, Ch.R., Matrix Analysis, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М. : Наука, 1971. — 576 с.Kamke, E., Spravochnik po obyknovennym differentsial’nym uravneniyam (Handbook of Ordinary Differential Equations), Moscow: Nauka, 1971.Зайцев, В.Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. — Ч. 1. — М. : Юрайт, 2023. — 385 c.Zaitcev, V.F. and Polyanin, A.D., Obyknovennyye differentsial’nyye uravneniya (Ordinary Differential Equations), Part 1, Moscow: Urait, 2023.Полянин, А.Д. Нелинейные уравнения математической физики и механики. Методы решения / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев. — М. : Юрайт, 2023. — 256 c.Polyanin, A.D. and Zaitcev, V.F., Nelineynyye uravneniya matematicheskoy fiziki i mekhaniki. Metody resheniya (Nonlinear Equations of Mathematical Physics and Mechanics. Solution Methods), Moscow: Urait, 2023.Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М. : Наука, 1981. — 800 с.Prudnikov, A.P., Brychkov, Yu.A., and Marichev, O.I., Integrals and Series. Elementary Functions, New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1986.