Differential EquationsDifferential EquationsДифференциальные уравнения0374-06413034-5030The Russian Academy of Sciences69898410.7868/S3034503025120041PARTIAL DERIVATIVE EQUATIONSУРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИResearch ArticleFUNDAMENTAL SOLUTION OF B-HYPERBOLIC EQUATION WITH WEAKLY NEGATIVE PARAMETERSФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ B-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИLyakhovL. NЛяховЛ. Нlevnlya@mail.ruBulatovYu. NБулатовЮ. Нy.bulatov@bk.ruVoronezh State UniversityВоронежский государственный университетLipetsk State Pedagogical University named after P. P. Semenov-Tyan-ShanskyЛипецкий государственный педагогический университет имени П.П. Семенова-Тян-ШанскогоYelets State University named after I. A. BuninЕлецкий государственный университет имени И.А. Бунина151220256112VOL 61, NO12 (2025)ТОМ 61, №12 (2025)1633164721122025Copyright ©; 2025, Russian Academy of SciencesCopyright ©; 2025, Российская академия наук2025Russian Academy of SciencesРоссийская академия наукhttps://ruspoj.com/0374-0641/article/view/698984

The B-hyperbolic operator □γ = ∂2/∂t2 − a2ΔBγ is considered, with the operator ΔBγ = ∑i=1 n Bγi , where Bγi are Bessel operators with parameters γi > −1. The definition of the δ−γ-Dirac distribution is introduced and the formula for the Bessel transform of the δ−γ-Dirac distribution is obtained. Three types of fundamental solutions of the B-hyperbolic operator are given. A solution to the inhomogeneous B-hyperbolic equation is given.

Рассмотрен B-гиперболический оператор □γ = ∂2/∂t2 − a2ΔBγ с оператором ΔBγ = ∑i=1 n Bγi , где Bγi — дифференциальные операторы Бесселя с параметрами γi > −1. Введено определение δ−γ-распределения Дирака и получена формула преобразования Бесселя δ−γ-распределения Дирака. Приведены три типа фундаментальных решений B-гиперболического оператора для различных значений индекса. Решено неоднородное B-гиперболическое уравнение.

B-hyperbolic operatorBessel differential operatorT-pseudoshift operatorFourier-Bessel transformsDirac δ-functionB-гиперболический оператордифференциальный оператор Бесселяоператор T-псевдосдвигапреобразование Фурье-Бесселяδ-функция ДиракаThis work was carried out with financial support from the Russian Science Foundation (project no. 24-21-00387).Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 24-21-00387).Катрахов, В.В. Сингулярные эллиптические краевые задачи / В.В. Катрахов. — Воронеж : Изд. дом ВГУ, 2024. — 509 с.Katrakhov, V.V., Singulyarnye kraevye zadachi (Singular Boundary Value Problems), Voronezh : VSU Publishing House, 2024.Ляхов, Л.Н. Оператор Киприянова–Бельтрами с отрицательной размерностью операторов Бесселя и сингулярная задача Дирихле для -гармонического уравнения / Л.Н. Ляхов, Е.Л. Санина // Дифференц. уравнения. — 2020. — Т. 56, № 12. — С. 1610–1620.Lyakhov, L.N. and Sanina, E.L., Kipriyanov–Beltrami operator with negative dimension of the Bessel operators and the singular Dirichlet problem for the -harmonic equation, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 12, pp. 1564–1574.Псевдосдвиг и фундаментальное решение Δ -оператора Киприянова / Л.Н. Ляхов, Ю.Н. Булатов, С.А. Рощупкин, Е.Л. Санина // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 12. — С. 1654–1665.Lyakhov, L.N., Bulatov, Yu.N., Roshchupkin, S.A., and Sanina, E.L., Pseudoshift and the fundamental solution of the Kipriyanov Δ -operator, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 12, pp. 1639–1650.Фундаментальное решение сингулярного дифференциального оператора Бесселя с отрицательным параметром / Л.Н. Ляхов, Е.Л. Санина, С.А. Рощупкин, Ю.Н. Булатов // Изв. вузов. Математика. — 2023. — № 7. — С. 52–65.Lyakhov, L.N., Sanina, E.L., Roshchupkin, S.A., and Bulatov, Yu.N., Fundamental solution of a singular Bessel differential operator with a negative parameter, Russ. Math., 2023, vol. 67, no. 7, pp. 43–54.Единственность решения задач Дирихле для уравнения Пуассона с сингулярным Δ -оператором Киприянова / Л.Н. Ляхов, Ю.Н. Булатов, С.А. Рощупкин, Е.Л. Санина // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 4. — С. 483–493.Lyakhov, L.N., Bulatov, Yu.N., Roshchupkin, S.A., and Sanina, E.L., Uniqueness of the solution of the Dirichlet problem for the Poisson equation with a singular Δ -Kipriyanov operator, Differ. Equat., 2023, vol. 59, no. 4, pp. 491–501.Ляхов, Л.Н. Формула Пуассона решения радиальной задачи Коши для сингулярного ультрагиперболического уравнения / Л.Н. Ляхов, Ю.Н. Булатов // Дифференц. уравнения. — 2025. — Т. 61, № 2. — С. 229–241.Lyakhov, L.N. and Bulatov, Yu.N., Poisson formula for the solution of the radial Cauchy problem for a singular ultrahyperbolic equation, Differ. Equat., 2025, vol. 61, no. 2, pp. 218–229.Ляхов, Л.Н. Дифференциальные и интегральные операции в скрытой сферической симметрии и размерность кривой Коха / Л.Н. Ляхов, Е.Л. Санина // Мат. заметки. — 2023. — Т. 113, № 4. — С. 517–528.Lyakhov, L.N. and Sanina, E.L., Differential and integral operations in hidden spherical symmetry and the dimension of the Koch curve, Math. Notes, 2023, vol. 113, no. 4, pp. 502–511.Девис, П. Суперсила : пер. с англ. / П. Девис ; под ред. Е.М. Лейкина. — М. : Мир, 1989. — 272 с.Davies, P., Superforce: The Search for a Grand Unified Theory of Nature, New York: Simon & Schuster, 1984.Энгелькинг, Р. Теория размерности / Р. Энгелькинг. — М. : Мир, 1978. — 312 с.Engelking, R., Dimension Theory, Amsterdam: North-Holland, 1978.Левитан, Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б.М. Левитан // Успехи мат. наук. — 1951. — Т. 6, № 2 (42). — С. 102–143.Levitan, B.M., Expansion into Fourier series and integrals in Bessel functions, Usp. Mat. Nauk, 1951, vol. 6, no. 2 (42), pp. 102–143.Киприянов, И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов. — М. : Наука, 1997. — 198 с.Kipriyanov, I.A., Singulyarnye ellipticheskie kraevye zadachi (Singular Elliptic Boundary Value Problems), Moscow: Nauka, 1997.Сабитов, К.Б. Вторая начально-граничная задача для -гиперболического уравнения / К.Б. Сабитов, Н.В. Зайцева // Изв. вузов. Математика. — 2019. — № 10. — С. 75–86.Sabitov, K.B. and Zaitseva, N.V., The second initial-boundary value problem for a -hyperbolic equation, Russ. Math., 2019, vol. 63, no. 10, pp. 66–76.Сабитов, К.Б. Начальная задача для -гиперболического уравнения с интегральным условием второго рода / К.Б. Сабитов, Н.В. Зайцева // Дифференц. уравнения. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 123–135.Sabitov, K.B. and Zaitseva, N.V., Initial value problem for -hyperbolic equation with integral condition of the second kind, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 1, pp. 121–133.Киприянов, И.А. Фундаментальные решения для однородных -гиперболических уравнений / И.А. Киприянов, Л.А. Иванов // Сиб. мат. журн. — 1980. — Т. 21, № 4. — С. 95–102.Kipriyanov, I.A. and Ivanov, L.A., Fundamental solutions of homogeneous -hyperbolic equations, Siberian Math. J., 1980, vol. 21, no. 4, pp. 95–102.Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. — 4-е изд., испр. И доп. — М. : Наука, 1981. — 512 с.Vladimirov, V.S., Uravneniya matematicheskoy fiziki (Equations of Mathematical Physics), Moscow: Nauka, 1981.Киприянов, И.А. О фундаментальном решении волнового уравнения с многими особенностями и о принципе Гюйгенса / И.А. Киприянов, Ю.В. Засорин // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28, № 3. — С. 452–462.Kipriyanov, I.A. and Zasorin, Yu.V., On fundamental solution of wave equation with several singularities and on Huygens’s principl, Differ. Uravn., 1992, vol. 28, no. 3, pp. 452–462.Булатов, Ю.Н. J-преобразования Бесселя -распределений, порожденные интегралом Ханкеля / Ю.Н. Булатов // Вестн. ВГУ. Сер. Физика. Математика. — 2024. — № 2. — С. 36–42.Bulatov, Yu.N., J-Bessel transforms of -distributions generated by the Hankel integral, Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Fizika. Matematika, 2024, vol. 2, pp. 36–42.