Differential EquationsDifferential EquationsДифференциальные уравнения0374-06413034-5030The Russian Academy of Sciences69898810.7868/S3034503025120085CONTROL THEORYТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯResearch ArticleSOLUTION OF THE CONTROL PROBLEM FOR A SINGULARLY PERTURBED DYNAMICAL SYSTEM WITH PARTIAL DERIVATIVESРЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИRaetskayaE. VРаецкаяЕ. Вraetskaya@inbox.ruVoronezh State Forestry University named after G.F. MorozovВоронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова151220256112VOL 61, NO12 (2025)ТОМ 61, №12 (2025)1699171821122025Copyright ©; 2025, Russian Academy of SciencesCopyright ©; 2025, Российская академия наук2025Russian Academy of SciencesРоссийская академия наукhttps://ruspoj.com/0374-0641/article/view/698988

A controllability criterion for a partial differential system with a small parameter at the second-order derivative was obtained. The equivalence of the obtained criterion to the Kalman criterion was proven. Control and state functions were constructed explicitly, and the solution to the limit problem was analytically determined. The problem of constructing a control that generates a boundary layer phenomenon near two boundaries of a rectangular domain of variable values was solved.

Получен критерий управляемости системы с частными производными с малым параметром при производной второго порядка. Доказана эквивалентность полученного критерия критерию Калмана. Построены в явном виде функции управления и состояния, решение предельной задачи в аналитическом виде. Решена задача построения управления, генерирующего явление погранслоя вблизи двух границ прямоугольной области значений переменных.

partial differential systemcontrolsingular perturbationboundary layer functionсистема уравнений с частными производнымиуправлениесингулярное возмущениефункция погранслояThis work was carried out with financial support from the Russian Science Foundation (project no. 24-21-20012).Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 24-21-20012).Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М. : Высшая школа, 1990. — 208 c.Vasileva, A.B. and Butuzov, V.F., Asimptoticheskiye metody v teorii singulyarnykh vozmushcheniy (Asymptotic Methods in the Theory of Singular Perturbations), Moscow: Vysshaja shkola, 1990.Вишик, М.И. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений / М.И. Вишик, Л.А. Люстерник // Успехи мат. наук. — 1960. — Т. 15, № 3 (93). — С. 3–80.Vishik, M.I. and Lusternik, L.A., Solution of some perturbation problems in the case of matrices and self-adjoint and non-self-adjoint differential equations, Uspekhi matematicheskikh nauk, 1960, vol. 15, no. 3 (93), pp. 3–80.Ломов, С.А. Основы математической теории пограничного слоя / С.А. Ломов, И.С. Ломов. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 2011. — 456 c.Lomov, S.A. and Lomov, I.S., Osnovy matematicheskoy teorii pogranichnogo sloya (Fundamentals of the Mathematical Theory of the Boundary Layer), Moscow: MSU Press, 2011.Крейн, С.Г. Асимптотический метод в задаче о колебаниях сильно вязкой жидкости / С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан // Прикл. математика и механика. — 1969. — Т. 33, № 3. — С. 456–464.Krein, S.G. and Kan, N.Z., Asymptotic method in the problem of oscillations of a strongly viscous fluid, J. Appl. Math. Mech., 1969, vol. 33, no. 3, pp. 442–450.Треногин, В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника–Вишика / В.А. Треногин // Успехи мат. наук. — 1970. — Т. 25, № 4 (154). — С. 123–156.Trenogin, V.A., The development and applications of the asymptotic method of Lyusternik and Vishik, Russ. Math. Surv., 1970, vol. 25, no. 4, pp. 119–156.Дмитриев, М.Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 2006. — Т. 1. — С. 3–51.Dmitriev, M.G. and Kurina, G.A., Singular perturbations in control problems, Automation and Remote Control, 2006, vol. 6, no. 1, pp. 1–43.Kokotovic, P.V. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design / P.V. Kokotovic, H.K. Khalil, O’Reilly. — London : Academic Press, 1986. — 387 p.Naidu, D.S. Singular perturbations and time scales in guidance and control of aerospace systems: a survey / D.S. Naidu, A.J. Calise // J. Guidance, Control and Dynamics. — 2001. — V. 24, № 6. — P. 1057–1078.Singular perturbation and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 / Y. Zhang, D.S. Naidu, C. Cai, Y. Zou // Intern. J. Information and Systems Sciences. — 2014. — V. 29, № 1. — P. 1–36.Зубова, С.П. Решение обратных задач для линейных динамических систем каскадным методом / С.П. Зубова // Докл. РАН. — 2012. — Т. 447, № 6. — С. 599–602.Zubova, S.P., Solution of inverse problems for linear dynamical systems by the cascade method, Dokl. Math., 2012, vol. 86, no. 3, pp. 846–849.Раецкая, Е.В. Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем : дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Е.В. Раецкая. — Воронеж, 2004. — 149 с.Raetskaya, E.V., Complete conditional controllability and complete observability of linear systems, Cand. Sci. (Phys.-Math.) Dissertation, Voronezh, 2004.Зубова, С.П. Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравнений : дис. . . . д-ра физ.-мат. наук / С.П. Зубова. — Воронеж, 2013. — 278 с.Zubova, S.P., Cascade decomposition method for solving problems for pseudoregular equations, Doctor Sci. (Phys.-Math.) Dissertation, Voronezh, 2013.Зубова, С.П. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С.П. Зубова, E.B. Раецкая, Ле Хай Чунг // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 11. — С. 41–47.Zubova, S.P., Trung, L.H., and Raetskaya, E.V., On polinomial solutions of the linear stationary control system, Automation and Remote Control, 2008, vol. 69, no. 11, pp. 1852–1858.Зубова, С.П. Построение управлений, обеспечивающих заданный выход для линейной стационарной динамической системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Автоматика и телемеханика. — 2018. — № 5. — С. 3–23.Zubova, S.P. and Raetskaya, E.V., Construction of controls providing the desired output of the linear stationary dynamic system, Automation and Remote Control, 2018, vol. 79, no. 5, pp. 775–791.Zubova, S.P. Solution of the multi-point control problem for a dynamic system in partial derivatives / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya // Math. Methods in the Appl. Sci. — 2021. — V. 44, № 15. — P. 11998–12009.Zubova, S.P. Control problem for dynamical systems with partial derivatives / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, L.H. Trung // J. Math. Sci. — 2020. — V. 249, № 6. — P. 941–953.Раецкая, Е.В. Общая схема построения определяющей функции в задаче управления для динамической системы в частных производных разного порядка / Е.В. Раецкая // Итоги науки и техники. Совр. математика и ее прил. Темат. обзоры. — 2024. — Т. 232. — С. 78–88.Raetskaya, E.V., General scheme for constructing a determining function in a control problem for a dynamic system in partial derivatives of different orders, Itogi nayki i tehniki. Sovremennaja matematika i ejo prilozhenija. Tematicheskije obzoru, 2024, vol. 232, pp. 78–88.Аткинсон, Ф.В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах / Ф.В. Аткинсон // Мат. сб. — 1951. — Т. 28 (70), № 1. — С. 3–14.Atkinson, F.V., Normal solvability of linear equations in normed spaces, Mat. Sb., 1951, vol. 28 (70), no. 1, pp. 3–14.Бортаковский, А.С. Линейная алгебра в примерах и задачах : учеб. пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. — М. : НИЦ ИНФРА-М, 2005. — 592 с.Bortakovsky, A.S. and Panteleev, A.V., Lineinaja algebra v primerah i zadachach (Linear Algebra in Examples and Problems), Moscow, 2005.Zubova, S.P. The comparizon of the two criteria of complete observability / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, L.H. Trung // Progress in analysis. Proceed. of the 8th Intern. Congress of the Intern. Society for Analysis, its Applications and Computation / V.I. Burenkov [et al.] eds. — 2012. — P. 248–256.