On Border-Collision Bifurcations in a Pulse System

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

Исследуются бифуркации граничного столкновения («border-collision bifurcations») в кусочно-гладком отображении, описывающем поведение импульсной системы автоматического управления. Показано, что в области колебательных движений такое отображение является кусочнолинейным непрерывным. Известно, что в кусочно-линейных отображениях классические бифуркации, например бифуркация удвоения периода, касательная и вилообразная бифуркации, становятся вырожденными («degenerate bifurcations»), сочетая свойства как гладких, так и бифуркаций граничного столкновения. Выявлены необычные свойства рассматриваемого класса динамических систем, проявляющиеся в том, что бифуркации граничного столкновения коразмерности один, включая и вырожденные, происходят, когда пара точек периодической орбиты одновременно сталкивается с двумя многообразиями переключения. Численно и аналитически изучены бифуркации «слияния» («merging»), «расширения» («expansion»), связанные с гомоклиническими бифуркациями неустойчивых периодических орбит.

About the authors

Zh. T Zhusubaliyev

Юго-Западный государственный университет

Email: zhanybai@gmail.com
д-р техн. наук Курск

D. V Titov

Юго-Западный государственный университет

Email: amazing2004@inbox.ru
д-р техн. наук Курск

O. O Yanochkina

Юго-Западный государственный университет

Email: yanoolga@gmail.com
канд. техн. наук Курск

U. A Sopuev

Ошский государственный университет

Email: ulansopuev@mail.ru
канд. физ. мат. наук Ош

References

  1. Розенвассер Е.Н. Периодически нестационарные системы управления. М.: Наука, 1973.
  2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с раззрывной правлй частью. М.: Наука, 1985.
  3. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах // АиТ. 1986. № 11. С. 37–44.
  4. Каретный О.Я, Кипнис М.М. Периодические режимы работы широтноимпульсных систем управления. I // АиТ. 1987. № 11. С. 46–54.
  5. Каретный О.Я, Кипнис М.М. Периодические режимы работы широтноимпульсных систем управления. II // АиТ. 1987. № 12. С. 42–48.
  6. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Исследование Ω-периодических режимов в широтноимпульсных системах // АиТ. 1989. № 2. С. 30–39.
  7. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтноимпульсной систе управления // Техническая киберненика. 1992. № 1. С. 108– 112.
  8. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во СПб. ун-та., 1993.
  9. Баушев В.С., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1992. № 8. С. 47–53.
  10. Андриевский Б.P., Фрадков A.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы // АиТ. 2003. № 5. C. 3–45.
  11. Андриевский Б.P., Фрадков A.Л. Управление хаосом: методы и приложения. II. Приложения // АиТ. 2004. № 4. C. 3–34.
  12. Nusse H.E., Yorke J.A. Border-Collision Bifurcations Including “Period Two to Period Three” for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. V. 57. No. 1–2. P. 39–57.
  13. Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочнонепрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 5. С. 861–869.
  14. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.
  15. Di Bernardo M., Feigin M.I., Hogan S.J., Homer M.E. Local Analysis of C-bifurcations in n-Dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Chaos, Solitons and Fractals, 1999. V. 19. No. 11. P. 1881–1908.
  16. Kapitaniak T., Maistrenko Yu. Multiple Choice Bifurcations as a Source of Unpredictability in Dynamical Systems // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 5161–5163.
  17. Dutta M., Nusse H., Ott R., Yorke J., Yuan G. Multiple Attractor Bifurcations: A Source of Unpredictability in Piecewise Smooth Systems // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 4281–4284.
  18. Nordmark A.B. Non-Periodic Motion Caused by Grazing Incidence in An Impact Oscillator // J. Sound Vib. 1991. V. 145. P. 279–297.
  19. Banerjee S., Verghese C.C. (Eds.) Nonlinear Phenomena in Power Electronis. New York: IEEE Press, 2001.
  20. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.
  21. Di Bernardo M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications. London: Springer-Verlag, 2008.
  22. Di Bernardo M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P., Nordmark A.B, Tost G.O., Piiroinen P.T. Bifurcations in Nonsmooth Dynamical Systems // SIAM Review. 2008. V. 50. P. 629–701.
  23. Avrutin V., Mosekilde E., Zhusubaliyev Zh. T., Gardini L. Onset of Chaos in a SinglePhase Power Electronic Inverter // Chaos. 2015. No. 25. P. 043114-1–043114-14.
  24. Simpson D.J.W. Border-Collision Bifurcations in RN // SIAM Review. 2016. V. 58. P. 177–226.
  25. Avrutin V., Gardini L., Sushko I., Tramontana F. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures. Singapore: World Scientific, 2019.
  26. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York: SpringerVerlag, 2004.
  27. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва–Ижевск: Инс-т компьют. исслед., 2003.
  28. Sushko I., Gardini L. Degenerate Bifurcations and Border Collisions in Piecewise smooth 1D and 2D Maps // Int. J. Bifurcat. Chaos. 2010. V. 20. No. 7. P. 2045– 2070.
  29. Avrutin V., Gardini L., Schanz M., Sushko I. Bifurcations of Chaotic Attractors in One-Dimensional Maps // Int. J. Bifurcat. Chaos. 2014. V. 24. P. 1440012.
  30. Zhusubaliyev Zh.T., Avrutin V., Bastian F. Transformations of Closed Invariant Curves and Closed-Invariant-Curve-Like Chaotic Attractors in Piecewise Smooth Systems // Int. J. Bifurcat. Chaos. 2021. V. 31. No. 3. P. 2130009.
  31. Avrutin V., Panchuk A., Sushko I. Border Collision Bifurcations of Chaotic Attractors in One-Dimensional Maps with Multiple Discontinuities // Proc. Roy. Soc. A. 2021, V. 477. P. 20210432.
  32. Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Chaotic Attractors in Crisis // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1507–1510.
  33. Grebogi C., Ott E., Yorke J. Crisis: Sudden Changes in Chaotic Attractors and Transient Chaos // Physica D. 1983. V. 7. P. 181.
  34. Grebogi C., Ott E., Romeiras F., Yorke J.A. Critical Exponents for Crisis-Induced Intermittency // Phys. Rev. A . 1987. V. 36. No. 11. P. 5365–5380.
  35. Mira C., Gardini L., Barugola A., Cathala J.C. Chaotic Dynamics in TwoDimensional Noninvertible Maps. Singapore: World Scientific, 1996.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences