On Singular Points of Linear Differential-Algebraic Equations with Perturbations in the Form of Integral Operators

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The paper consideres linear systems of ordinary differential equations of arbitrary order with a matrix identically degenerate in the domain of definition at the highest derivative of the desired vector function and with loads in the form of Volterra and Fredholm integral operators. The initial value problems are formulated using projections onto admissible sets of initial vectors. Special attention is paid to systems having singular points on the interval of integration. The concept of a singular point is formalized. Their classification in the case of differential equations is given. A number of examples illustrating the theoretical results are presented.

About the authors

V. F. Chistyakov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: chist@icc.ru
664033, Irkutsk, Russia

References

  1. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980.
  2. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1996.
  3. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. Днепропетровск: Системные технологии, 2006.
  4. Lamour R., Marz R., Tischendorf C. Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis. Description: Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH Co. KG, Germany, 2013.
  5. Белов А.А. Дескрипторные системы и задачи управления / ред. А.А. Белов, А.П. Курдюков. М.: Физматлит, 2015. 270 с.
  6. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / ред. Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Hаука, 1998.
  7. Свиридюк Г.А., Загребина С.А. Задача Шоуолтера–Сидорова как феномен уравнений соболевского типа // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Матем. 2010. Т. 3. № 1. С. 104–125.
  8. Бояринцев Ю.Е., Корсуков B.M. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Вопросы прикладной математики. Иркутск: Изд. СЭИ СО АН СССР, 1975. С. 140–152.
  9. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
  10. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.
  11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 2-е изд., дополненное. М.: Наука, 1966.
  12. Сидоров Н.А., Дрегля А.И. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с необратимым оператором в главной части и неклассическими начальными условиями. В кн: Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз., 183, ВИНИТИ РАН, М., 2020 С. 120–129.
  13. Sidorov N.A. A study of the continuous solutions of the Cauchy problem in the neighborhood of a branch point // Sov. Math. (Iz. VUZ). 1976. V. 20. № 9. P. 77–87.
  14. Maerz R., Weinmuller E.B. Solvability of Boundary Value Problems for Systems of Singular Differential-Algebraic Equations // SIAM J. Math. Anal. 1993. V. 24. № 1. P. 200–215. https://doi.org/10.1137/0524012
  15. Gorbunov V.K., Gorobetz A., Sviridov V. The method of normal splines for linear implicit differential equations of second order // Lobachevskii J. Math. 2005. V. 20. P. 59–75.
  16. Marz R., Riaza R. Linear differential-algebraic equations with properly stated leading term: Regular points // J. Math. Anal. Appl. 2006. V. 323. № 2. P. 1279–1299. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.11.038
  17. Estevez Schwarz D., Lamour R. Diagnosis of singular points of structured DAEs using automatic differentiation // Numer. Algorithm. 2014. V. 69. № 4. P. 667–691. https://doi.org/10.1007/s11075-014-9919-8
  18. Lomov S.A. Introduction to the General Theory of Singular Perturbations. MONOGRAPHS, V. 112 i. Am. Math. Soc. 1992.
  19. Samoilenko A.M., Samusenko P.F. Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I // Ukrains’kyi Mat. Zh. Vol. 2020. V. 72. № 12. P. 1669–1681.https://doi.org/10.37863/umzh.v72i12.6261
  20. Chistyakov V.F., Chistyakova E.V. Evaluation of the Index and Singular Points of Linear Differential-Algebraic Equations of Higher Order // J. Math. Sci. 2018. V. 231. Iss. 6. P. 827–845.
  21. Silverman L.M., Bucy R.S. Generalizations of theorem of Dolezal // Math. System Theory. 1970. V. 4. P. 334–339.
  22. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М: Наука, 1975.
  23. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. 2-е изд., стереот. М.: Физматлит, 2002. 160 с.
  24. Лузин Н.Н. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений // Автомат. и телемех. 1940. № 5. С. 4–66.
  25. Chistyakov V.F., Chistyakova E.V. Linear Differential-Algebraic Equations Perturbed by Volterra Integral Operators // Different. Equat. 2017. V. 53. № 10. P. 1274–1287.
  26. Щеглова А.А. Исследование и решение вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью замен переменных // Сиб. матем. журн. 1995. V. 36. № 6. P. 1435–1445.
  27. Chistyakova E.V., Chistyakov V.F. Solution of differential algebraic equations with the Fredholm operator by the least squares method // Appl. Numer. Math. 2020. V. 149. P. 43–51.
  28. Chistyakov V.F. Improved Estimates of the Effect of Perturbations on the Solutions of Linear Differential-Algebraic Equations // Different. Equat. 2019. V. 55. P. 279–282.
  29. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 4. С. 459–470.
  30. Белов А.А., Калиткин Н.Н. Численное интегрирование задач Коши с особыми точками. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2020. 076. 36 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 В.Ф. Чистяков