Real Normal Form of a Binary Polynomial at a Second-Order Critical Point

A. B. Batkhin; Батхин А. Б.; A. D. Bruno; Брюно А. Д.

doi:10.31857/S0044466923010064

Real Normal Form of a Binary Polynomial at a Second-Order Critical Point

Authors: Batkhin A.B.¹^,2, Bruno A.D.²
Affiliations:
1. Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)
2. Federal Research Center Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences
Issue: Vol 63, No 1 (2023)
Pages: 3-15
Section: Algebraic equations
URL: https://ruspoj.com/0044-4669/article/view/664899
DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466923010064
EDN: https://elibrary.ru/LDMYKU
ID: 664899

Cite item

Full Text

Open Access
Restricted Access

Access granted
Restricted Access

Subscription or Fee Access

Abstract

A real polynomial in two variables is considered. Its expansion near the zero critical point begins with a third-degree form. The simplest forms to which this polynomial is reduced with the help of invertible real local analytic changes of coordinates are found. First, for the cubic form, normal forms are obtained using linear changes of coordinates. Altogether, there are three of them. Then three nonlinear normal forms are obtained for the complete polynomial. Simplification of the calculation of a normal form is proposed. A meaningful example is given.

Keywords

cubic form, change of coordinates, normal form, nonlinear normalization

About the authors

A. B. Batkhin

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); Federal Research Center Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences

Email: batkhin@gmail.com
141701, Dolgoprudnyi, Moscow oblast, Russia; 125047, Moscow, Russia

A. D. Bruno

Federal Research Center Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: abruno@keldysh.ru
125047, Moscow, Russia

References

Брюно А.Д., Батхин А.Б. Алгоритмы и программы вычисления корней многочлена от одной или двух неизвестных // Программирование. 2021. № 5. С. 22–43. https://doi.org/10.31857/S0132347421050046
Haile D.E. On the Clifford algebra of a binary cubic form // American J. of Math. 1984. V. 106. № 6. P. 1269–1280.
Арнольд В.И. Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек // Успехи матем. наук. 1974. Т. 29. № 2. С. 11–49.
Кокс Д., Литтл Д., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000. 687 с.
Прасолов В.В. Многочлены. 4-е изд., исправленное. М.: МЦНМО, 2014.
Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. 72 с.
Батхин А.Б. Параметризация дискриминантного множества вещественного многочлена // Программирование. 2016. Т. 42. № 2. С. 8–21.
Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc. Maple. Version 2019. Waterloo, Ontario, 2019. URL https://hadoop.apache.org.
Thompson I. Understanding Maple. Cambridge University Press, 2016. 228 p.
Meurer A. [et al.]. SymPy: symbolic computing in Python // PeerJ Computer Science. 2017. V. 3. e103. ISSN 2376–5992.https://doi.org/10.7717/peerj-cs.103.
Брюно А.Д., Батхин А.Б., Хайдаров З.Х. Примеры вычисления линий уровня многочленов на плоскости // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2021. № 98. 36 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2021-98
olfram S. The Mathematica Book. Wolfram Media, Inc., 2003. 1488 p
Брюно А.Д., Батхин А.Б. Разрешение алгебраической сингулярности алгоритмами степенной геометрии // Программирование. 2012. № 2. С. 12–30.
Батхин А.Б., Брюно А.Д., Варин В.П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем // Прикл. матем. и механ. 2012. Т. 76. № 1. С. 80–133.