Email this article 
Real Normal Form of a Binary Polynomial at a Second-Order Critical Point
- Authors: Batkhin A.B.1,2, Bruno A.D.2
-
Affiliations:
- Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)
- Federal Research Center Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 63, No 1 (2023)
- Pages: 3-15
- Section: Algebraic equations
- URL: https://ruspoj.com/0044-4669/article/view/664899
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466923010064
- EDN: https://elibrary.ru/LDMYKU
- ID: 664899
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription or Fee Access
Abstract
A real polynomial in two variables is considered. Its expansion near the zero critical point begins with a third-degree form. The simplest forms to which this polynomial is reduced with the help of invertible real local analytic changes of coordinates are found. First, for the cubic form, normal forms are obtained using linear changes of coordinates. Altogether, there are three of them. Then three nonlinear normal forms are obtained for the complete polynomial. Simplification of the calculation of a normal form is proposed. A meaningful example is given.
About the authors
A. B. Batkhin
Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); Federal Research Center Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences
Email: batkhin@gmail.com
141701, Dolgoprudnyi, Moscow oblast, Russia; 125047, Moscow, Russia
A. D. Bruno
Federal Research Center Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences
Author for correspondence.
Email: abruno@keldysh.ru
125047, Moscow, Russia
References
- Брюно А.Д., Батхин А.Б. Алгоритмы и программы вычисления корней многочлена от одной или двух неизвестных // Программирование. 2021. № 5. С. 22–43. https://doi.org/10.31857/S0132347421050046
- Haile D.E. On the Clifford algebra of a binary cubic form // American J. of Math. 1984. V. 106. № 6. P. 1269–1280.
- Арнольд В.И. Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек // Успехи матем. наук. 1974. Т. 29. № 2. С. 11–49.
- Кокс Д., Литтл Д., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000. 687 с.
- Прасолов В.В. Многочлены. 4-е изд., исправленное. М.: МЦНМО, 2014.
- Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. 72 с.
- Батхин А.Б. Параметризация дискриминантного множества вещественного многочлена // Программирование. 2016. Т. 42. № 2. С. 8–21.
- Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc. Maple. Version 2019. Waterloo, Ontario, 2019. URL https://hadoop.apache.org.
- Thompson I. Understanding Maple. Cambridge University Press, 2016. 228 p.
- Meurer A. [et al.]. SymPy: symbolic computing in Python // PeerJ Computer Science. 2017. V. 3. e103. ISSN 2376–5992.https://doi.org/10.7717/peerj-cs.103.
- Брюно А.Д., Батхин А.Б., Хайдаров З.Х. Примеры вычисления линий уровня многочленов на плоскости // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2021. № 98. 36 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2021-98
- olfram S. The Mathematica Book. Wolfram Media, Inc., 2003. 1488 p
- Брюно А.Д., Батхин А.Б. Разрешение алгебраической сингулярности алгоритмами степенной геометрии // Программирование. 2012. № 2. С. 12–30.
- Батхин А.Б., Брюно А.Д., Варин В.П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем // Прикл. матем. и механ. 2012. Т. 76. № 1. С. 80–133.
Supplementary files
