On the Exact Controllability of a Semilinear Evolution Equation with an Unbounded Operator

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

For the Cauchy problem associated with a controlled semilinear evolution equation with an unbounded maximal monotone operator in a Hilbert space, sufficient conditions are obtained for exact controllability to a given final state. Here a generalization of the Browder–Minty theorem and results on the total global solvability of this equation obtained by the author earlier are used. As an example, a semilinear wave equation is considered.

About the authors

A. V Chernov

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, 603950, Russia

Author for correspondence.
Email: chavnn@mail.ru
г. Нижний Новгород, Россия

References

  1. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М., 1980.
  2. Carthel C., Glowinski R., Lions J.L. On exact and approximate boundary controllabilities for the heat equation: a numerical approach // J. of Optim. Theory and Appl. 1994. V. 82. № 3. P. 429-484.
  3. Lebeau G., Robbiano L. Contr^ole exact de l'equation de la chaleur // Comm. Partial Differ. Equat. 1995. V. 20. № 1-2. P. 335-356.
  4. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1893-1900.
  5. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Управляемость упругих колебаний систем с распределёнными и сосредоточенными параметрами по двум границам // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2006. Т. 46. № 11. С. 2032-2044.
  6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М., 2002.
  7. Егоров А.И. Основы теории управления. М., 2004.
  8. Zuazua E. Controllability and observability of partial differential equations: some results and open problems / Eds. C.M. Dafermos et al. Handbook of differential equations: Evolutionary equations. V. III. Amsterdam, 2007. P. 527-621.
  9. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. № 1. P. 1-68.
  10. Розанова А.В. Управляемость для нелинейного абстрактного эволюционного уравнения // Мат. заметки. 2004. Т. 76. Вып. 4. С. 553-567.
  11. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. Новосибирск, 1999.
  12. Klamka J. Constrained exact controllability of semilinear systems // Syst. Control Lett. 2002. V. 47. № 2. P. 139-147.
  13. Balachandran K., Dauer J.P. Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: a survey // J. of Optim. Theory and Appl. 2002. № 1. P. 7-28.
  14. Pighin D., Zuazua E. Controllability under positivity constraints of semilinear heat equations // Math. Control Relat. Fields. 2018. V. 8. № 3-4. P. 935-964.
  15. Klamka J., Avetisyan A.S., Khurshudyan A.Zh. Exact and approximate distributed controllability of processes described by KdV and Boussinesq equations: the Green's function approach // Arch. Control Sci. 2020. V. 30. № 1. P. 177-193.
  16. Cannarsa P., Komornik V., Loreti P. One-sided and internal controllability of semilinear wave equations with infinitely iterated logarithms // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2002. V. 8. № 3. P. 745-756.
  17. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Controllability of Evolution Equations. Lecture Notes Ser. V. 34. Seoul, 1996.
  18. Чернов А.В. О достаточных условиях управляемости нелинейных распределённых систем // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2012. Т. 52. № 8. С. 1400-1414.
  19. Balachandran K., Dauer J.P., Balasubramaniam P. Controllability of nonlinear integrodifferential systems in Banach space // J. of Optim. Theory and Appl. 1995. V. 84. P. 83-91.
  20. Mahmudov N.I. Exact null controllability of semilinear evolution systems // J. Glob. Optim. 2013. V. 56. № 2. P. 317-326.
  21. Zhang X. Exact controllability of semilinear evolution systems and its application // J. Optimization Theory Appl. 2000. V. 107. № 2. P. 415-432.
  22. Liu W., Williams G.H. Exact internal controllability for the semilinear heat equation // J. Math. Anal. Appl. 1997. V. 211. P. 258-272.
  23. Чернов А.В. Об одном обобщении метода монотонных операторов // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 535-544.
  24. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М., 1962.
  25. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. М., 1979.
  26. Гаевский Х., Гр"егер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М., 1978.
  27. Brezis H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York; Dordrecht; Heidelberg; London, 2011.
  28. Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // Успехи мат. наук. 1968. Т. 23. Вып. 2 (140). С. 121-168.
  29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984.
  30. Чернов А.В. О тотально глобальной разрешимости эволюционного уравнения с неограниченным оператором // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31. Вып. 2. С. 331-349.
  31. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.
  32. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences