On the Classification of Completely Regular Codes with Covering Radius Two and Antipodal Duals

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

We classify all linear completely regular codes which have covering radius ρ=2">ρ=2 and whose dual are antipodal. For this, we firstly show several properties of such dual codes, which are two-weight codes with weights d">d and n">n.

About the authors

J. Borges

Department of Information and Communications Engineering, Universitat Autònoma de Barcelona

Email: joaquim.borges@uab.cat
Barcelona, Spain

V. A. Zinov'ev

Kharkevich Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences

Email: vazinov@iitp.ru
Moscow, Russia

D. V. Zinov'ev

Kharkevich Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: dzinov@iitp.ru
Moscow, Russia

References

  1. Neumaier A. Distance Matrices, Dimension, and Conference Graphs // Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 1981. V. 43. № 4. P. 385–391. https://doi.org/10.1016/1385-7258(81)90059-7
  2. Бассалыго Л.А., Зайцев Г.В., Зиновьев В.А. О равномерно упакованных кодах // Пробл. передачи информ. 1974. Т. 10. № 1. С. 9–14. https://www.mathnet.ru/ppi1014
  3. Семаков Н.В., Зиновьев В.А., Зайцев Г.В. Равномерно упакованные коды // Пробл. передачи информ. 1971. Т. 7. № 1. С. 38–50. https://www.mathnet.ru/ppi1621
  4. Goethals J.-M., van Tilborg H.C.A. Uniformly Packed Codes // Philips Res. Rep. 1975.V. 30. P. 9–36.
  5. Боржес Ж., Рифа Ж., Зиновьев В.А. О полностью регулярных кодах // Пробл. передачи информ. 2019. Т. 55. № 1. С. 3–50. https://doi.org/10.1134/S0134347519010017
  6. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs. Berlin: Springer, 1989.
  7. van Dam E.R., Koolen J.H., Tanaka H. Distance-Regular Graphs // Electron. J. Combin. 2016. Dynamic Surveys, DS22 (156 pp.). https://doi.org/10.37236/4925
  8. Koolen J., Krotov D., Martin B. Completely Regular Codes (electronic pages). https://sites.google.com/site/completelyregularcodes
  9. Bonisoli A., Every Equidistant Linear Code Is a Sequence of Dual Hamming Codes // Ars Combin. 1984. V. 18. P. 181–186.
  10. Borges J., Rif`a J., Zinoviev V.A. On q-ary Linear Completely Regular Codes with ρ = 2 and Antipodal Dual // Adv. Math. Commun. 2010. V. 4. № 4. P. 567–578. https://doi.org/10.3934/amc.2010.4.567
  11. Бойваленков П., Делчев К., Зиновьев Д.В., Зиновьев В.А. О кодах с расстояниями d и n // Пробл. передачи информ. 2022. Т. 58. № 4. С. 62–83. https://doi.org/10.31857/S0555292322040064
  12. Delsarte P. An Algebraic Approach to the Association Schemes of Coding Theory // Philips Res. Rep. Suppl. 1973. № 10 (97 pp.).
  13. Бассалыго Л.А., Зиновьев В.А. Замечание о равномерно упакованных кодах // Пробл. передачи информ. 1977. Т. 13. № 3. С. 22–25. https://www.mathnet.ru/ppi1091
  14. Семаков Н.В., Зиновьев В.А., Зайцев Г.В. Класс максимальных эквидистантных ко- дов // Пробл. передачи информ. 1969. Т. 5. № 2. С. 84–87. https://www.mathnet.ru/ppi1804
  15. Бассалыго Л.А., Додунеков С.М., Зиновьев В.А., Хеллесет Т. Граница Грея – Рэнкина для недвоичных кодов // Пробл. передачи информ. 2006. Т. 42. № 3. С. 37–44. https://www.mathnet.ru/rus/ppi51
  16. Helleseth T., Kløve T., Levenshtein V.I. A Bound for Codes with Given Minimum and Maximum Distances // Proc. 2006 IEEE Int. Symp. on Information Theory (ISIT’2006). Seattle, WA, USA. July 9–14, 2006. P. 292–296. https://doi.org/10.1109/ISIT.2006.261600
  17. Beth T., Jungnickel D., Lenz B. Design Theory. Cambridge, UK: Cambridge Univ. Press, 1986.
  18. Denniston R.H.F. Some Maximal Arcs in Finite Projective Planes // J. Combin. Theory. 1969. V. 6. № 3. P. 317–319. https://doi.org/10.1016/S0021-9800(69)80095-5
  19. Thas J.A. Projective Geometry over a Finite Field // Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations. Amsterdam: Elsevier, 1995. Ch. 7. P. 295–347. https://doi.org/10.1016/B978-044488355-1/50009-8
  20. Bouyukliev I.G. Classification of Griesmer Codes and Dual Transform // Discrete Math. 2009. V. 309. № 12. P. 4049–4068. https://doi.org/10.1016/j.disc.2008.12.002
  21. Delsarte P. Two-Weight Linear Codes and Strongly Regular Graphs // MBLE Research Lab. Report R160. Brussels, Belgium, 1971.
  22. Boyvalenkov P., Delchev K., Zinoviev D.V., Zinoviev V.A. On Two-Weight Codes // Discrete Math. 2021. V. 344. № 5. Paper No. 112318 (15 pp.). https://doi.org/10.1016/j.disc.2021.112318
  23. Farrell P.G. Linear Binary Anticodes // Electron. Lett. 1970. V. 6. № 13. P. 419–421. https://doi.org/10.1049/el:19700293
  24. Hamada N., Helleseth T. Codes and Minihypers // Proc. 3rd EuroWorkshop on Optimal Codes and Related Topics (OC’2001). Sunny Beach, Bulgaria. June 10–16, 2001. P. 79–84.
  25. Delsarte P. Weights of Linear Codes and Strongly Regular Normed Spaces // Discrete Math. 1972. V. 3. № 1–3. P. 47–64. https://doi.org/10.1016/0012-365X(72)90024-6
  26. Бойваленков П., Делчев К., Зиновьев Д.В., Зиновьев В.А. О q-ичных кодах с двумя расстояниями d и d +1 // Пробл. передачи информ. 2020. Т. 56. № 1. С. 38–50. https://doi.org/10.31857/S0555292320010040
  27. Calderbank R., Kantor W.M. The Geometry of Two-Weight Codes // Bull. London Math. Soc. 1986. V. 18. № 2. P. 97–122. https://doi.org/10.1112/blms/18.2.97
  28. Bush K.A. Orthogonal Arrays of Index Unity // Ann. Math. Statist. 1952. V. 23. № 3.P. 426–434. https://doi.org/10.1214/aoms/1177729387
  29. Ball S., Blokhuis A., Mazzocca F. Maximal Arcs in Desarguesian Planes of Odd Order Do Not Exist // Combinatorica. 1997. V. 17. № 1. P. 31–41. https://doi.org/10.1007/BF01196129

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences